题文
已知函数f（x）=inx-a（x-1），a∈R（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤inxx+1恒成立，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（本小题满分12分）（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=1-axx，
若a≤0，则f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，…（2分）
若a＞0，则由f′（x）=0，得x=1a，
当x∈（0，1a）时，f′（x）＞0，
当x∈（1a，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1a）上单调递增，在（1a，+∞）单调递减．
所以当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＞0时，f（x）在（0，1a）上单调递增，在（1a，+∞）单调递减．…（4分）
（Ⅱ）f（x）-lnxx+1=xlnx-a(x2-1)x+1，
令g（x）=xlnx-a（x2-1），（x≥1），
g′（x）=lnx+1-2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1-2ax，
F′(x)=1-2axx，…（6分）
①或a≤0，F′（x）＞0，g′（x）在[1，+∞）递增，
g′（x）≥g′（1）=1-2a＞0，
∴g（x）在[1，+∞）递增，g（x）≥g（1）=0，
从而f（x）-lnxx+1≥0不符合题意．…（8分）
②若0＜a＜12，当x∈（1，12a），F′（x）＞0，
∴g′（x）在（1，12a）递增，
从而g′（x）＞g′（1）=1-2a，
∴g（x）在[1，+∞）递增，g（x）≥g（1）=0，
从而f（x）-lnxx+1≥0不符合题意．…（10分）
③若a≥12，F′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，
∴g′（x）在[1，+∞）递减，g′（x）≤g′（1）=1-2a≤0，
从而g9x）在[1，+∞）递减，
∴g（x）≤g（1）=0，f（x）-lnxx+1≤0，
综上所述，a的取值范围是[12，+∞）．…（12分）
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解析
1-axx考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=inx-a（x-1），.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
