题文
设f（logax）=a(x2-1)x(a2-1)，(a＞0，a≠1)求证：
（1）过函数y=f（x）图象上任意两点直线的斜率恒大于0；
（2）f（3）＞3． 题型：未知 难度：其他题型
答案
证明：（1）令t=logax，则x=at，f（t）=aa2-1(at-a-t)（t∈R），∴f（x）=aa2-1(ax-a-x)（x∈R），
设x1＜x2，f（x1）-f（x2）=a(ax1-ax2)(ax1+x2+1)(a2-1)ax1+x2，
（1）当a＞1时，因为x10，ax1-ax2＜0，
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
（2）当0＜a＜1时，因为a2-1＜0，ax1-ax2＞0，
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
∴x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），∴K=f(x1)-f(x2)x1-x2＞0，
故过函数y=f（x）图象上任意两点直线的斜率恒大于0；
（2）f（3）=aa2-1(a3-a-3)=a(a6-1)a3(a2-1)=a4+a2+1a2=a2+1a2+1≥2a2•1a2+1=3，
∵a＞0，a≠1，∴a2≠1a2，∴上述不等式不能取等号，
∴f（3）＞3．
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解析
aa2-1考点
据考高分专家说，试题“设f（logax）=a(x2-1)x(a.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
