题文
已知函数f（x）=-13x3+x2+b，g（x）=x+ax2+1，其中x∈R（I）当b=23时，若函数F(x)=f(x)(x≤2)g(x)(x＞2)为R上的连续函数，求F（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=-1时，若对任意x1，x2∈[1，2]，不等式g（x1）＜f（x2）恒成立，求实数b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）当b=23时，函数F（x）为R上的连续函数，∴limx→2+g(x)=2+a5=f(2)=2
∴a=8
∵f′（x）=-x2+2x=-x（x-2）令f′（x）＞0，0＜x＜2
∴当x≤2时，函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，2）上单调递增．
又g(x)=x+8x2+1，g′(x)=-x2-16x+1(x2+1)2
当x∈（2，+∞时，g′（x）＜0恒成立，
∴当x＞2时，函数g（x）在（2，+∞）上单调递减．
综上可知，函数F（x）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（-∞，0），（2，+∞）
（Ⅱ）对任意x1，x2∈[-1，2]，f（x1）＜f（x2）恒成立
g（x）max＜f（x）min，x∈[-1，2]
∵a=-1
∴g(x)=x-1x2+1
此时g′（x）＞0即-x2+2x+1＞0
∴1-2＜x＜1+2
当x∈[-1，2]时，函数g（x）在[-1，1-2]上单调递减，在[1-2，2]上单调递增．
而g(-1)=-1，g(2)=15
∴当x∈[-1，2]时，函数g（x）的最大值为g(2)=15．
结合（I）中函数f（x）的单调性可知：当x∈[-1，2]时，f（x）min=f（0）=b
∴g（x）max＜f（x）min
∴b＞15
即实数b的取值范围为b∈(15，+∞)
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解析
23考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=-13x3+x2+b，.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
