题文
已知函数：f(x)=x+1-aa-x(a∈R且x≠a)．（1）证明：f（x）+2+f（2a-x）=0对定义域内的所有x都成立；
（2）当f（x）的定义域为[a+12，a+1]时，求证：f（x）的值域为[-3，-2]；
（3）（理）设函数g（x）=x2+|（x-a）f（x）|，求g（x）的最小值．
（4）（文）设函数g（x）=x2+（x-a）f（x），其中x≤a-1，求g（x）的最小值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）f(x)+2+f(2a-x)=x+1-aa-x+2+2a-x+1-aa-2a+x=x+1-aa-x+2+a-x+1x-a=x+1-a+2a-2x-a+x-1a-x=0
∴结论成立
（2）f(x)=-(a-x)+1a-x=-1+1a-x
当a+12≤x≤a+1时，-a-1≤-x≤-a-12，-1≤a-x≤-12，-2≤1a-x≤-1，
∴-3≤-1+1a-x≤-2 即f（x）值域为[-3，-2]．
（3）（理）g（x）=x2+|x+1-a|（x≠a）
①当x≥a-1且x≠a时，g(x)=x2+x+1-a=(x+12)2+34-a．
如果a-1≥-12即a≥12时，则函数在[a-1，a）和（a，+∞）上单调递增，∴g（x）min=g（a-1）=（a-1）2
如果a-1＜-12即当a＜12且a≠-12时，g(x)min=g(-12)=34-a．当a=-12时，g（x）最小值不存在．
②当x≤a-1时g(x)=x2-x-1+a=(x-12)2+a-54，
如果a-1＞12即a＞32时g(x)min=g(12)=a-54．
如果a-1≤12即a≤32时，g(x)在(-∞，a-1)上为减函数g(x)min=g(a-1)=(a-1)2．
当a＞32时，(a-1)2-(a-54)=(a-32)2＞0.当a＜12时，(a-1)2-(34-a)=(a-12)2＞0．
综合得：当a＜12且a≠-12时，g（x）最小值是34-a；当12≤a≤32时，g（x）最小值是（a-1）2；当a＞32时，g（x）最小值为a-54；当a=-12时，g（x）最小值不存在．
（文）同②
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解析
x+1-aa-x考点
据考高分专家说，试题“已知函数：f(x)=x+1-aa-x(a.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
