题文
已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=ax，（a∈R）．（1）若函数y=f（x）是偶函数，求出符合条件的实数a的值；
（2）若方程f（x）=g（x）有两解，求出实数a的取值范围；
（3）若a＞0，记F（x）=g（x）•f（x），试求函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵函数f（x）=|x-a|为偶函数，∴对任意的实数x，f（-x）=f（x）成立
即|-x-a|=|x-a|，
∴x+a=x-a恒成立，或x+a=a-x恒成立
∵x+a=a-x不能恒成立
∴x+a=x-a恒成立，得a=0．…（4分）
（2）当a＞0时，|x-a|-ax=0有两解，
等价于方程（x-a）2-a2x2=0在（0，+∞）上有两解，
即（a2-1）x2+2ax-a2=0在（0，+∞）上有两解，…（6分）
令h（x）=（a2-1）x2+2ax-a2，
因为h（0）=-a2＜0，所以a2-1＜0a1-a2＞0△=4a2+4a2(a2-1)＞0，故0＜a＜1；…（8分）
同理，当a＜0时，得到-1＜a＜0；
当a=0时，f（x）=|x|=0=g（x），显然不合题意，舍去．
综上可知实数a的取值范围是（-1，0）∪（0，1）．…（10分）
（3）令F（x）=f（x）•g（x）
①当0＜a≤1时，则F（x）=a（x2-ax），
对称轴x=a2∈(0，12]，函数在[1，2]上是增函数，
所以此时函数y=F（x）的最大值为4a-2a2．
②当1＜a≤2时，F(x)=-a(x2-ax)，1＜x≤aa(x2-ax)，a＜x≤2，对称轴x=a2∈(12，1]，
所以函数y=F（x）在（1，a]上是减函数，在[a，2]上是增函数，F（1）=a2-a，F（2）=4a-2a2，
1）若F（1）＜F（2），即1＜a＜53，此时函数y=F（x）的最大值为4a-2a2；
2）若F（1）≥F（2），即53≤a≤2，此时函数y=F（x）的最大值为a2-a．
③当2＜a≤4时，F（x）=-a（x2-ax）对称轴x=a2∈(1，2]，
此时F(x)max=F(a2)=a34，
④当a＞4时，对称轴x=a2∈(2，+∞)，此时F(x)max=F(2)=2a2-4a．
综上可知，函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值[F(x)]max=4a-2a2，0＜a＜53a2-a，53≤a≤2a34，2＜a≤42a2-4a，a＞4.…（16分）
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解析
a2-1＜0a1-a2＞0△=4a2+4a2(a2-1)＞0考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
