题文
已知函数f（x）=2x-12x+1．（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）证明：在f（x）上R为增函数；
（3）证明：方程f（x）-lnx=0在区间（1，3）内至少有一根． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）f（x）为奇函数．证明如下：函数定义域为R，关于原点对称，
又f（-x）=2-x-12-x+1=1-2x1+2x=-2x-12x+1=-f（x），
所以函数f（x）为奇函数；
（2）证明：f（x）=1-22x+1，
任取x1，x2，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=（1-22x1+1）-（1-22x2+1）=2(2x1-2x2)(2x1+1)(2x2+1)，
因为x1＜x2，所以2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
故f（x）在R上为增函数；
（3）证明：令g（x）=f（x）-lnx=1-22x+1-lnx，
因为g（1）=13＞0，g（3）=1-223+1-ln3=79-ln3＜0，
又g（x）在（1，3）上图象连续不断，
所以函数g（x）在（1，3）上至少有一个零点，
即方程f（x）-lnx=0在区间（1，3）内至少有一根．
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解析
2-x-12-x+1考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2x-12x+1．（1.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
