已知函数f=-2x2+x+1-2a，g=x+a，其中a∈R．若函数f是偶函数，求函数f在区间[-1，3]上的

题文

已知函数f（x）=-2x²+（a+3）x+1-2a，g（x）=x（1-2x）+a，其中a∈R．
（1）若函数f（x）是偶函数，求函数f（x）在区间[-1，3]上的最小值；
（2）用函数的单调性的定义证明：当a≤1时，f（x）在区间[1，+∞）上为减函数；
（3）求对于任意a∈[-3，+∞），函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方的实数x的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵函数f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），x∈R恒成立，
即：-2x²+（a+3）x+1-2a=-2x²-（a+3）x+1-2a
∴a=-3
∴f（x）=-2x²+7；易知其对称轴为：x=0
∴当x=0时，f（x）_max=7，当x=3时，f（x）_min=-11；
（2）当a≤1时，f（x）=-2x²+（a+3）x+1-2a，下面证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是减函数．
设x₁＞x₂≥1，则f（x₁）-f（x₂）=）=-2x₁²+（a+3）x₁+1-2a-（-2x₂²+（a+3）x₂+1-2a，）
=-2（x₁²-x₂²）+（a+3）（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）[-2（x₁+x₂）+a+3]
∵x₁＞x₂≥1，则x₁-x₂＞0，且-2（x₁+x₂）＜-4，
∵a≤1，∴a+3≤4，∴-2（x₁+x₂）+a+3＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故函数f（x）在区间[1，+∞）上是减函数．
（3）对于任意a∈[-3，+∞），函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方，
即-2x²+（a+3）x+1-2a＞x（1-2x）+a在a∈[-3，+∞）上恒成立，
即（x-3）a+2x+1＞0在a∈[-3，+∞）上恒成立，
设h（a）=（x-3）a+2x+1，
∴x-3＞0h(-3)＞0，即x-3＞0-3(x-3)+2x+1＞0，
解得3＜x＜10，
∴实数x的取值范围为（3，10）．

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解析

x-3＞0h(-3)＞0

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=-2x2+（a+3）x.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|