题文
设二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0）满足条件：①f（-1+x）=f（-1-x）；②函数f（x）的图象与直线y=x只有一个公共点．（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式πf(x)＞(1π)2-tx在t∈[-2，2]时恒成立，求实数x的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵由①f（x）=ax2+bx（a≠0）的对称轴方程是x=-1，∴b=2a；
∵函数f（x）的图象与直线y=只有一个公共点，
∴y=ax2+bxy=x有且只有一解，
即ax2+（b-1）x=0有两个相同的实根；
故△=（b-1）2=0⇒b=1，a=12，
所以f（x）=12x2+x．
（2）∵π＞1∴πf(x)＞(1π)2-tx⇔f（x）＞tx-2．
因为12x2+x＞tx-2在t∈[-2，2]时恒成立等价于
函数g（t）=xt-（12x2+x+2）＜0，t∈[-2，2]时恒成立；
∴g(-2)＜0g(2)＜0⇒x2-2x+4＞0x2+6x+4＞0⇒x＜-3-5，x＞-3+5
故实数x的取值范围是（-∞，-3-5）∪（-3+5，+∞）．
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解析
y=ax2+bxy=x考点
据考高分专家说，试题“设二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
