三次函数f=x3-3bx+3b在[1，2]内恒为正值，则b的取值范围是______．

题文

三次函数f（x）=x³-3bx+3b在[1，2]内恒为正值，则b的取值范围是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

方法1：可以看作y₁=x₃，y₂=3b（x-1），且y₂＜y₁
x₃的图象和x₂类似，只是在一，三象限，
由于[1，2]，讨论第一象限即可
直线y₂过（1，0）点，斜率为3b．
观察可知在[1，2]范围内，直线y₂与y₁=x₃相切的斜率是3b的最大值．
对y₁求导得相切的斜率3（x2），相切的话3b=3（x₂），b的最大值为x₂．
相切即是有交点，y₁=y₂ 3x₂（x-1）=x₃ x=1.5
则b的最大值为x₂=9/4，
那么b＜9/4．
方法2：f（x）=x^3-3bx+3b
f'（x）=3x^-3b b≤0时，
f（x）在R上单调增，只需f（1）=1＞0，显然成立；
b＞0时，令f'（x）=0    x=±√b---＞f（x）在[√b，+∞）上单调增，在[-√b，√b]上单调减；
如果√b≤1即b≤1，只需f（1）=1＞0，显然成立；
如果√b≥2即b≥4，只需f（2）=8-3b＞0---＞b＜8/3，矛盾舍去；
如果1＜√b＜2即1＜b＜4，必须f（√b）=b√b-3b√b+3b＞0
-b（2√b-3）＞0
√b＜3/2
b＜9/4，
即：1＜b＜9/4
综上：b＜9/4

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“三次函数f（x）=x3-3bx+3b在[.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|