题文
（注：本题第（2）（3）两问只需要解答一问，两问都答只计第（2）问得分）已知函数f（x）=ax+xln|x+b|是奇函数，且图象在点（e，f（e））处的切线斜率为3（e为自然对数的底数）．
（1）求实数a、b的值；
（2）若k∈Z，且k＜f(x)x-1对任意x＞1恒成立，求k的最大值；
（3）当m＞n＞1（m，n∈Z）时，证明：（nmm）n＞（mnn）m． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵函数f（x）=ax+xln|x+b|是奇函数，∴f（-x）=-f（x），即a（-x）+（-x）ln|-x+b|=-（ax+xln|x+b|）…（2分），
∴ln|-x+b|=ln|x+b|，从而b=0…（3分），
此时f（x）=ax+xln|x|，f′（x）=a+1+ln|x|…（4分），
依题意f′（e）=a+2=3，所以a=1…（5分）
（2）当x＞1时，设g(x)=f(x)x-1=x+xlnxx-1，则g′(x)=x-2-lnx(x-1)2…（6分）
设h（x）=x-2-lnx，则h′(x)=1-1x＞0，h（x）在（1，+∞）上是增函数…（8分）
因为h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，所以∃x0∈（3，4），使h（x0）=0…（10分），
x∈（1，x0）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，即g（x）在（1，x0）上为减函数；同
理g（x）在（x0，+∞0）上为增函数…（12分），
从而g（x）的最小值为g(x0)=x0+x0lnx0x0-1=x0…（13分）
所以k＜x0∈（3，4），k的最大值为3…（14分）．
（3）证明：要证（nmm）n＞（mnn）m，即要证nlnn+mnlnm＞mlnm+mnlnn…（6分），
即证n（1-m）lnn＞m（1-n）lnm，nlnnn-1＜mlnmm-1…（8分），
设ϕ(x)=xlnxx-1，x＞1…（9分），则ϕ/(x)=x-1-lnx(x-1)2…（10分）
设g（x）=x-1-lnx，则ϕ ′(x)=x-1-lnx(x-1)2…（11分），g（x）在（1，+∞0）上为增函数…（12分），
∀x＞1，g（x）＞g（1）=1-1-ln1=0，从而ϕ′（x）＞0，ϕ（x）在（1，+∞0）上为增函数…（13分），
因为m＞n＞1，所以ϕ（n）＜ϕ（m），nlnnn-1＜mlnmm-1，
所以（nmm）n＞（mnn）m…（14分）
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解析
f(x)x-1考点
据考高分专家说，试题“（注：本题第（2）（3）两问只需要解答一.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
