设函数f=x3-ax2+3x+b，a，b是实常数，其图象在点）处的切线平行于x轴．求a的值；若对任意x∈[-1，4]，都有f（x

题文

设函数f（x）=x³-ax²+3x+b，a，b是实常数，其图象在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．
（1）求a的值；
（2）若对任意x∈[-1，4]，都有f（x）＞f′（x）成立，求b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）求导函数可得f′（x）=3x²-2ax+3，∴f′（1）=6-2a
∵图象在点（1，f（1））处的切线平行于x轴
∴f′（1）=0
∴6-2a=0，∴a=3；
（2）对任意x∈[-1，4]，都有f（x）＞f′（x）成立，等价于b＞-x³+6x²-9x+3在[-1，4]上恒成立；
令g（x）=-x³+6x²-9x+3，x∈[-1，4]，只要b＞g_max（x）
∵g′（x）=-3x²+12x-9
令g′（x）＞0，可得1＜x＜3，令g′（x）＜0，可得x＜1，或x＞3
∴函数在（1，3）上单调增，在（-∞，1），（3，+∞）上单调减
∴x=3时，函数取得极大值为g（3）=3
∵g（-1）=19，g（4）=-1
∴g（x）在[-1，4]上的最大值为19
∴b＞19

点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=x3-ax2+3x+b，.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|