题文
已知函数f(x)=1a-1x（a≠0，x≠0）．（1）设F（x）=f（x）-a，且F（x）为奇函数，求a的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数． 题型：未知 难度：其他题型
答案
解 （1）∵F(x)=f(x)-a=1a-1x-a…（3分）∴F(-x)=1a+1x-a
又因为F（-x）为奇函数，
所以 F(-x)+F(x)=2a-2a=0…（5分）
解得 a=1或a=-1…（7分）
（2）证明 任取x1＞x2＞0，
f（x1）-f（x2）=（1a-1x1）-（1a-1x2）=（1x2-1x1）=x1-x2x1x2 …（10分）
∵x1＞x2＞0，∴x1x2＞0，x1-x2＞0，…（12分）
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）
故f（x）在（0，+∞）上是增函数 …（15分）
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解析
1a考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=1a-1x（a≠0，x.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
