已知函数f是区间D⊆[0，+∞）上的增函数，若f可表示为f=f1+f2，且满足下列条件：①f1是D上的增函数；②f2是

题文

已知函数f（x）是区间D⊆[0，+∞）上的增函数，若f（x）可表示为f（x）=f₁（x）+f₂（x），且满足下列条件：①f₁（x）是D上的增函数；②f₂（x）是D上的减函数；③函数f₂（x）的值域A⊆[0，+∞），则称函数f（x）是区间D上的“偏增函数”．
（1）（i） 问函数y=sinx+cosx是否是区间(0，π4)上的“偏增函数”？并说明理由；
（ii）证明函数y=sinx是区间(0，π4)上的“偏增函数”．
（2）证明：对任意的一次函数f（x）=kx+b（k＞0），必存在一个区间D⊆[0，+∞），使f（x）为D上的“偏增函数”． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）（i） y=sinx+cosx是区间(0，π4)上的“偏增函数”．
记f₁（x）=sinx，f₂（x）=cosx，显然f₁（x）=sinx在(0，π4)上单调递增，f₂（x）=cosx在(0，π4)上单调递减，
且f₂（x）=cosx∈（22，1）⊆[0，+∞），
又y=f(x)=sinx+cosx=2sin(x+π4)在(0，π4)上单调递增，
故y=sinx+cosx是区间(0，π4)上的“偏增函数”．
（ii）证明：y=sinx=(sinx-cosx)+cosx=2sin(x-π4)+cosx，
记f1(x)=2sin(x-π4)，f2(x)=cosx，
显然f1(x)=2sin(x-π4)在(0，π4)上单调递增，f₂（x）=cosx在(0，π4)上单调递减，
且f₂（x）=cosx∈（22，1）⊆[0，+∞），
又y=f（x）=f₁（x）+f₂（x）=sinx在(0，π4)上单调递增，
故y=sinx是区间(0，π4)上的“偏增函数”． 
（2）证明：①当b＞0时，令f₁（x）=（k+1）x，f₂（x）=-x+b，D=（0，b），显然D=（0，b）⊆[0，+∞），
∵k＞0，∴f（x）=kx+b在（0，b）上单调递增，
f₁（x）=（k+1）x在（0，b）上单调递增，f₂（x）=-x+b在（0，b）上单调递减，
且对任意的x∈（0，b），b＞f₂（x）＞f₂（b）=0，
因此b＞0时，必存在一个区间（0，b），使f（x）=kx+b（k＞0）为D上的“偏增函数．
②当b≤0时，取c＞0，且满足c+b＞0，令f₁（x）=（k+1）x-c，f₂（x）=-x+b+c，D=（0，b+c）⊆[0，+∞），
显然，f（x）=kx+b在（0，b+c）上单调递增，
f₁（x）=（k+1）x-c在（0，b+c）上单调递增，f₂（x）=-x+b+c在（0，b+c）上单调递减，
且对任意的（0，b+c），b+c＞f₂（x）＞f₂（b+c）=0，
因此b≤0时，必存在一个区间（0，b+c），使f（x）=kx+b（k＞0）为D上的“偏增函数”．
综上，对任意的一次函数f（x）=kx+b（k＞0），必存在一个区间D⊆[0，+∞），
使f（x）为D上的“偏增函数”．

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解析

π4

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）是区间D⊆[0，+∞）上.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|