关于函数f(x)=(x-3)e-x，x≥02ax-3，x＜0，对于下列命题：①函数f在每一点处都连续；②若a=2，则函数f在x

题文

关于函数f(x)=(x-3)e-x，x≥02ax-3，x＜0（a为常数，且a＞0），对于下列命题：
①函数f（x）在每一点处都连续；
②若a=2，则函数f（x）在x=0处可导；
③函数f（x）在R上存在反函数；
④函数f（x）有最大值1e4；
⑤对任意的实数x₁＞x₂≥0，恒有f（x1+x22）＜f(x1)+f(x2)2；
其中正确命题的序号是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

①x=0时，（0-3）e⁰=-3，x=0时，2ax-3有意义，且2ax-3=-3，
∴函数f（x）在x=0处都连续，即函数f（x）在每一点处都连续；
∴①正确
②f′（x）=e-x(4-x)  x≥02a         x＜0（a＞0），
x=0时，e⁰（4-0）=4，令2a=4得a=2，
∴a=2，函数f（x）在x=0处可导；
∴②正确
③令f′（x）＞0，得x＜4，令f′（x）＜0，得x＞4，
∴f（x）在（-∞，4]上是增函数，在[4，+∞）上是减函数，
∴函数f（x）在R上不存在反函数；
∴③错误
④令f′（x）=0，得x=4，x＜4时，f′（x）＞0，x＞4时，f′（x）＜0，
∴x=4时，f（x）有最大值为f（4）=e^-4=1e4；
∴④正确
⑤在函数f（x）[0，+∞）上任取两点（x₁，f（x₁））（x₂，f（x₂））
∵f（x）的图象在[0，+∞）上是上凸的，所以两点连线应在图象的下方，
∴f（x1+x22）＞f(x1) +f(x2)2
∴⑤错误．
故答案为①②④

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解析

e-x(4-x)  x≥02a         x＜0

考点

据考高分专家说，试题“关于函数f(x)=(x-3)e-x，x≥.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|