已知函数f=x3-3ax，函数g=㏑x．当a=1时，求函数f在区间[-2，2]上的最小值；若在区间[1，2]上f的

题文

已知函数f（x）=x³-3ax（a∈R），函数g（x）=㏑x．
（1）当a=1时，求函数f（x）在区间[-2，2]上的最小值；
（2）若在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）的图象的上方（没有公共点），求实数a的取值范围；
（3）当a＞0时，设h（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]．求h（x）的最大值F（a）的解析式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f'（x）=3x²-3=0，∴x=±1
∵f（-2）=-2，f（2）=2，f（1）=-2
∴函数的最小值为f（x）_min=-2
（2）∵在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）图象的上方
∴x³-3ax≥lnx在[1，2]上恒成立得 3a＜x2-lnxx在[1，2]上恒成立
设h（x）=x2-lnxx则 h′(x)=2x-1-lnxx2=2x3+lnx-1x2
∵2x³-1≥0，lnx≥0
∴h'（x）≥0
∴h（x）_min=h（1）=1
∴a＜13
（3）因g（x）=|f（x）|=|x³-3ax|在[-1，1]上是偶函数，故只要求在[0，1]上的最大值
①当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增且f（0）=0，∴g（x）=f（x）F（a）=f（1）=1-3a．
②当a＞0时，f′(x)=3x2-3a=3(x+a)(x-a)，（ⅰ）当 a≥1，即a≥1g（x）=|f（x）|=-f（x），-f（x）在[0，1]上单调递增，此时F（a）=-f（1）=3a-1
（ⅱ）当 0＜a＜1，即0＜a＜1时，f(x)在[0，a]上单调递减，在 [a，1]单调递增；
1°当 f(1)=1-3a≤0，即13≤a＜1时，g(x)=|f(x)|=-f(x)，-f(x)在[0，a]上单调递增，在[a，1]上单调递减，F(a)=-f(a)=2aa；
2°当 f(1)=1-3a＞0，即0＜a＜13
（ⅰ）当 -f(a)≤f(1)=1-3a，即0＜a≤14时，F(a)=f(1)=1-3a
（ⅱ）当 -f(a)＞f(1)=1-3a，即14＜a＜13时，F(a)=-f(a)=2aa（1）-2
∴F（a）=1-3a，0＜a≤142aa14＜a＜13a-1，a≥1

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解析

lnxx

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x3-3ax（a∈R）.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|