题文
已知二次函数g（x）对任意实数x不等式x-1≤g（x）≤x2-x恒成立，且g（-1）=0，令f(x)=g(x)+mlnx+12(m∈R)．（I）求g（x）的表达式；
（Ⅱ）若∃x＞0使f（x）≤0成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）设1＜m≤e，H（x）=f（x）-（m+1）x，证明：对∀x1，x2∈[1，m]，恒有|H（x1）-H（x2）|＜1． 题型：未知 难度：其他题型
答案
解（I）设g（x）=ax2+bx+c（a≠0），由题意令x=1得0≤g（1）≤0∴g（1）=0，
∴a+b+c=0a-b+c=0得b=0，a+c=0，
∵x-1≤g（x）≤x2-x对∀x∈R恒成立，
∴ax2-a≥x-1和ax2-a≤x2-x恒成立，
得a=12，
∴g(x)=12x2-12．
（II）f(x)=g(x)+mlnx+12(m∈R，x＞0)=12x2+mlnx，
f′(x)=x+mx
当m＞0时，f（x）的值域为R
当m=0时，f(x)=12x2＞0对∀x＞0，f(x)＞0恒成立
当m＜0时，令f′(x)=0⇒x=-m
x(0，-m)-m(-m，+∞)f'（x）-0+f（x）↘极小↗这时f(x)min=f(-m)=-m2+mln-m
若∃x＞0使f（x）≤0成立则只须f（x）min≤0即m≤-e，
综上所述，实数m的取值范围（-∞，-e）∪（0，+∞）．
（III）∵对∀x∈[1，m]，H′(x)=(x-1)(x-m)x≤0，所以H（x）在[1，m]单减
于是|H(x1)-H(x2)|≤H(1)-H(m)=12m2-mlnm-12，
|H(x1)-H(x2)|＜1⇐12m2-mlnm-12＜1⇔12m-lnm-32m＜0，
记h(m)=12m-lnm+32m(1＜m≤e)，则h′(m)=12-1m+32m2=32(1m-13)2+13＞0
所以函数h（m）在[1，e]是单增函数
所以h(m)＜h(e)=e2-1-32e=(e-3)(e+1)2e＜0
故命题成立．
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解析
a+b+c=0a-b+c=0考点
据考高分专家说，试题“已知二次函数g（x）对任意实数x不等式x.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
