题文
已知函数f(x)=xlnx，g(x)=-23x3+12ax2-3bx+c(a，b，c∈R)．（1）若函数h（x）=f′（x）-g′（x）是其定义域上的增函数，求实数a的取值范围；
（2）若g（x）是奇函数，且g（x）的极大值是g(33)，求函数g（x）在区间[-1，m]上的最大值；
（3）证明：当x＞0时，f′(x)＞1ex-2ex+1． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）f'（x）=lnx+1，g'（x）=-2x2+ax-3b，所以h（x）=lnx+2x2-ax+3b+1，由于h（x）是定义域内的增函数，故h′(x)=1x+4x-a≥0恒成立，
即a≤1x+4x对∀x＞0恒成立，又1x+4x≥4（x=2时取等号），故a∈（-∞，4]．
（2）由g（x）是奇函数，则g（x）+g（-x）=0对∀x＞0恒成立，从而a=c=0，
所以g(x)=-23x3-3bx，有g'（x）=-2x2-3b．
由g（x）极大值为g(33)，即g′(33)=0，从而b=-29；
因此g(x)=-23x3-23x，即g′(x)=-2x2+23=-2(x-33)(x+33)，
所以函数g（x）在(-∞，-33)和(33，+∞)上是减函数，在(-33，33)上是增函数．
由g（x）=0，得x=±1或x=0，因此得到：
当-1＜m＜0时，最大值为g（-1）=0；
当0≤m＜33时，最大值为g(m)=-23m3+23m；
当m≥33时，最大值为g(33)=4327．
（3）问题等价于证明f(x)=xlnx＞xex-2e对x＞0恒成立；
f'（x）=lnx+1，所以当x∈(0，1e)时，f'（x）＜0，f（x）在(0，1e)上单调减；
当x∈(1e，+∞)时，f'（x）＞0，f（x）在(1e，+∞)上单调增；
所以f（x）在（0，+∞）上最小值为-1e（当且仅当x=1e时取得）
设m(x)=xex-2e(x＞0)，则m′(x)=1-xex，得m（x）最大值m(1)=-1e（当且仅当x=1时取得），
又f（x）得最小值与m（x）的最大值不能同时取到，所以结论成立．
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解析
1x考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=xlnx，g(x)=-.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
