已知函数f定义在R上，并且对于任意实数x，y都有f=f+f成立，且x≠y时，f≠f，x＞0时，有f＞0．判断

题文

已知函数f（x）定义在R上，并且对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x≠y时，f（x）≠f（y），x＞0时，有f（x）＞0．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若f（1）=1，解关于x的不等式f(x)-f(1x-1)≥2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，
不妨设x=y=0，则f（0）=0，
令y=-x得，f（x-x）=f（x）+f（-x）
⇒f（x）+f（-x）=0
⇒f（-x）=-f（x），
故f（x）是奇函数；
（2）∵f（1）=1，f（x+y）=f（x）+f（y）
∴f（1）+f（1）=f（1+1）=f（2）=2，
不等式化为f(x)＞f(1x-1)+2⇒f(x)＞f(1x-1)+f(2)⇒f(x)＞f(1x-1+2)（*）
∵当x≠y时，f（x）≠f（y），
x＞0时，有f（x）＞0，
设x₂＞x₁＞0则：f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（x₂）-f（x₁+x₂）=f（2x₂）+f（-x₁-x₂）=f（x₂-x₁），又x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＞0
即f（x₂）-f（x₁）＞0⇒f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在（0，+∞）上递增，由f（x）为奇函数，
∴x＜0时必有f（x）＜0，加之f（0）=0，
于是f（x）在R上为增函数．
根据（*）式不等式化为：x＞1x-1+2⇒（x-1）（x²-3x+1）＞0，
利用穿针线法得：
不等式的解集为：{x|3-52＜x＜1或x＞3+52}．

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解析

1x-1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）定义在R上，并且对于任意.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|