题文
已知定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的函数y=f（x）满足条件：对于定义域内任意x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）．（1）求证：f(1x)=-f(x)，且f（x）是偶函数；
（2）请写出一个满足上述条件的函数． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）证明：令x1=x2=1∵f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
∴f（1）=2f（1）
∴f（1）=0，
∴f(1x)+f(x)=f(1)=0，
∴f(1x)=-f(x)
令x1=-1，x2=1
f（-1）=f（-1）+f（-1）=2f（-1），
∴f（-1）=0；
令x1=-1
∵f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
∴f（x1•x2）=f（-x2）=f（-1）+f（x2）
又∵f（-1）=0
∴f（-x2）=f（x2）
故f（x）是偶函数；
（2）根据根据（x1x2）=f（x1）+f（x2）以及函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
可知f（x）=log2|x|．
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解析
1x考点
据考高分专家说，试题“已知定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
