题文
已知函数f（x）=x3+mx，g（x）=nx2+n2，F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数F（x）在x=l处有极值为10，求曲线F（x）在（0，F（0））处的切线方程；
（Ⅲ）若n2＜3m，不等式F(1+1nxx-1)＞F(kx)对∀x∈（1，+∞）恒成立，求整数k的最大值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）∵f（x）=x3+mx，∴f′（x）=3x2+m．①当m≥0时，f′（x）≥0恒成立，所以f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
②当m＜0时，若f′（x）＜0，则--3m3＜x＜-3m3．若f′（x）＞0，则x＜--3m3，或x＞-3m3，
所以f（x）在（--3m3，-3m3）上是减函数，在（-∞，--3m3），（-3m3，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）∵F（x）=x3+mx+nx2+n2，在x=1处有极值10，
∴F′（x）=3x2+2nx+m．
∴F′(1)=0F(1)=10，∴3×12+2n×1+m=013+n×12+m×1+n2=10，
∴m=-11，n=4．或m=3，n=-3．
当m=3，n=-3时，F′（x）=3（x-1）2≥0，函数F（x）在R上是增函数，所以F（x）在x=1处无极值，不合题意．
当m=-11，n=4时，F′（x）=3x2+8x-11=（3x+11）（x-1），
当-113＜x＜1时，F′（x）＜0；当x＞1时，F′（x）＞0．
∴函数F（x）在x=1处取得极小值，符合题意．
∴m=-11，n=4．∴切线方程为11x+y-16=0．
（Ⅲ）∵F（x）=x3+mx+nx2+n2，
∴F′（x）=3x2+2nx+m．
∵n2＜3m，△=4（n2-3m）＜0，∴F′（x）＞0，
∴F（x）=x3+mx+nx2+n2在R上是增函数．
∵F（1+lnxx-1）＞F（kx）对任意x∈（1，+∞）恒成立，∴k＜x(1+lnx)x-1对任意x∈（1，+∞）恒成立．
设函数h（x）=x(1+lnx)x-1，则h′（x）=x-lnx-2(x-1)2．
设m（x）=x-lnx-2，则m′（x）=1-1x．
∵x∈（1，+∞），m′（x）＞0，则m（x）=x-lnx-2在（1，+∞）上是增函数，
因为m（1）=-1，m（2）=-ln2，m（3）=1-ln3＜0，m（4）=2-ln4＞0，所以∃x0∈（3，4），使m（x0）=x0-lnx0-2=0
所以x∈（1，x0）时，m（x）＜0，h′（x）＜0，所以h（x）=x(1+lnx)x-1在（1，+∞）上递减，
x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h′（x）＞0，所以h（x）=x(1+lnx)x-1在（x0，+∞）上递增，
所以h（x）的最小值为h（x0）=x0(1+lnx0)x0-1，
又因为m（x0）=x0-lnx0-2=0，所以h（x0）=x0，
因为x0∈（3，4），且k＜h（x）对任意x∈（1，+∞）恒成立，所以k＜h（x）min，
所以k≤3，整数k的最大值为3．
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解析
-3m3考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x3+mx，g（x）=.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
