已知f=2x可以表示为一个奇函数g与一个偶函数h之和，若不等式a-g+h≥0对于x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范

题文

已知f（x）=2^x（x∈R）可以表示为一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和，若不等式a-g（x）+h（2x）≥0对于x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

f（x）=2^x可以表示成一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和
∴g（x）+h（x）=2^x①，g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x）=2^-x②
①②联立可得，h（x）=12（2x+2-x），g（x）=12（2x-2-x），
ag（x）+h（2x）≥0对于x∈[1，2]恒成立
a≥-h(2x)g(x)对于x∈[1，2]恒成立
a≥-4x+4-x2x-2-x=-（2x-2-x）+（2-x-2x）对于x∈[1，2]恒成立
t=2^x-2^-x，x∈[1，2]，t∈[32，154]则t+2t在t∈[32，154]，
t=32，时，则t+2t=176，
∴a≥-176；
故答案为a≥-176；

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=2x（x∈R）可以表示为一.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|