题文
设函数f（x）=ax2+1bx+c是奇函数（a，b，c都是整数）且f（1）=2，f（2）＜3．（1）求a，b，c的值；
（2）当x＜0，f（x）的单调性如何？用单调性定义证明你的结论；
（3）当x＞0时，求函数f（x）的最小值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）由f（x）=ax2+1bx+c是奇函数，得f（-x）=-f（x）对定义域内x恒成立，则a(-x)2+1b(-x)+c=-ax2+1bx+c，∴-bx+c=-（bx+c）对定义域内x恒成立，
即c=0；（或由定义域关于原点对称得c=0）
又f（1）=2，f（2）＜3，
∴a+1b=2①4a+12b＜3②由①得a=2b-1代入②得2b-32b＜0，
∴0＜b＜32，又a，b，c是整数，得b=a=1．
（2）由（1）知，f（x）=x2+1x=x+1x，当x＜0，f（x）在（-∞，-1]上单调递增，在[-1，0）上单调递减．下用定义证明之．
设x1＜x2≤-1，则f（x1）-f（x2）=x1+1x1-（x2+1x2）=x1-x2-x1-x2x1x2=（x1-x2）（1-1x1x2），
因为x1＜x2≤-1，x1-x2＜0，1-1x1x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
故f（x）在（-∞，-1]上单调递增；
同理，可证f（x）在[-1，0）上单调递减．
（3）∵f（x）=x+1x为奇函数，由（2）可知，f（x）在（-∞，-1]上单调递增，f（x）在[-1，0）上单调递减，
∴f（x）在（0，1]上单调递减，f（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴当x＞0时，求函数f（x）的最小值为f（1）=1+1=2．
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解析
ax2+1bx+c考点
据考高分专家说，试题“设函数f（x）=ax2+1bx+c是奇函.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
