题文
已知函数f（x）=lnx，g(x)=2a2x2（a＞0）（Ⅰ）若设F（x）=f（x）+g（x），求F（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数H(x)=f(x)+2g(x)图象上任意点处的切线的斜率k≤1恒成立，求实数a的最小值；
（Ⅲ）是否存在实数m，使得函数p(x)=13x3+x2+m-23的图象与q(x)=32f(x2)的图象恰好有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）F（x）=f（x）+g（x）=lnx+2a2x2（x＞0），F′（x）=1x-4a2x3=x2-4a2x3(x＞0)∵a＞0，由F'（x）＞0，得x＞2a，
∴F（x）的单调递增区间为（2a，+∞）．-----------------------（3分）
（II）H（x）=f（x）+2g(x)=lnx+2ax，H′（x）=1x-2ax2≤1(x＞0)，----------------------（5分）
∵2a≥-x2+x，又x2-x≤14，2a≥-14，a≥18．
所以实数a的最小值为18．--------------------------（8分）
（III） 若p（x）=13x3+x2+m-23的图象与q（x）=32f(x2)=32lnx2的图象恰有三个不同交点，
即13x3+x2+m-23=32lnx2有三个不同的根，
亦即m=32lnx2-13x3-x2+23有三个不同的根．---------------------（10分）
令G（x）=32lnx2-13x3-x2+23，
则G′（x）=3x-x2-2x=-(x-1)(x2+3x+3)x．
当x＜0时G'（x）＜0，所以G（x）单调递减，且当x→0时，G（x）→-∞，当x→-∞时，G（x）→+∞
当0＜x＜1时G'（x）＞0；
∴G（x）单调递增，且当x→0时，G（x）→-∞，
当x＞1时，G'（x）＜0；
∴G（x）单调递减，
∴当x=1时，G（x）的极大值G（1）=-23．
所以，当 m＜-23时，方程m=32lnx2-13x3-x2+23有三个不同的解．--------------（14分）
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解析
2a2x2考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=lnx，g(x)=2a.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
