题文
已知函数f（x）=x|x-a|，a∈R是常数．（1）若a=1，求y=f（x）在点P（-1，f（-1））处的切线；
（2）是否存在常数a，使f（x）＜2x+1对任意x∈（-∞，2）恒成立？若存在，求常数a的取值范围；若不存在，简要说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）a=1时，f(x)=x|x-1|=x2-x，x≥1x-x2，x＜1.，在点P（-1，f（-1））附近，f（x）=x-x2，f/（x）=1-2x，所以P（-1，-2），k=f/（-1）=3，所求切线方程为y+2=3（x+1），即3x-y+1=0．
（2）f（x）＜2x+1即x|x-a|＜2x+1（*）
x=0时，（*）等价于0＜1，对任意a∈R恒成立．
0＜x＜2时，（*）等价于|x-a|＜2+1x，即x-2-1x＜a＜2+x+1x，2+x+1x≥4，等号当且仅当x=1时成立，
(x-2-1x)/=1+1x2＞0，y=x-2-1x在0＜x＜2单调递增，x-2-1x＜-12，所以-12≤a＜4（9分）．
x＜0时，（*）等价于|x-a|＞2+1x，即a＞2+x+1x或a＜x-2-1x，2+x+1x=2-[(-x)+(-1x)]≤2-2=0，
等号当且仅当-x=1即x=-1时成立，所以a＞0，
y=x-2-1x在x＜0时的取值范围为R，所以a＜x-2-1x恒成立的a的解集为空集φ．
所以，常数a的取值范围为R∩{a|-12≤a＜4}∩{a|a＞0}={a|0＜a＜4}．
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解析
x2-x，x≥1x-x2，x＜1.考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x|x-a|，a∈R是.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
