题文
已知函数g(x)=1-x21+x2(x≠0，x≠±1，x∈R)的值域为A，定义在A上的函数f（x）=x-2-x2（x∈A）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）的单调性并用定义证明；
（3）解不等式f（3x+1）＞f（5x+1）． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）由y=1-x21+x2得x2=1-y1+y＞0，故-1＜y＜1，因此A=（-1，0）∪（0，1）．又因为f（-x）=f（x），所以f（x）是偶函数；
（2）设x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=1x21-x21-1x22+x22=(x2-x1)(x2+x1)(1+1x21x22)，
①如果x1，x2∈（-1，0），那么x1+x2＜0，故f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）；
②若x1，x2∈（0，1），则x1+x2＞0，故f（x1）-f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2）．
因此f（x）在（-1，0）单增，在（0，1）单减；
（3）因为f（x）是偶函数，所以f（x）=f（|x|），从而原不等式化为f（|3x+1|）＞f（|5x+1|）．
故|3x+1＜|5x+10＜|3x+1＜10＜|5x+1＜1，即(8x+2)•2x＞0-23＜x＜0且x≠-13-25＜x＜ 0且x≠-15，
解得-25＜x＜-13或-13x＜-14，从而原不等式的解集为{x|-25＜x＜-13或-13x＜-14}．
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解析
1-x21+x2考点
据考高分专家说，试题“已知函数g(x)=1-x21+x2(x≠.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
