题文
已知函数f（x）=x3-ax，g(x)=12x2-lnx-52（1）若对一切x∈（0，+∞），有不等式f（x）≥2x•g（x）-x2+5x-3恒成立，求实数a的取值范围；
（2）记G(x)=12x2-52-g(x)，求证：G(x)＞1ex-2ex． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）原不等式可化为：x3-ax≥2x(12x2-lnx-52)-x2+5x-3，化简得：ax≤2xlnx+x2+3，∵x＞0，故上式可化为a≤2lnx+3x+x恒成立，则问题等价于a≤(2lnx+3x+x)min．
记t(x)=2lnx+3x+x，(x＞0)，t′(x)=x2+2x-3x2，
令t′（x）=0，得x=1，
∵x＞0，∴在（0，1）上，t′（x）＜0，在（1，+∞）上，t′（x）＞0，
∴t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
故当x=1时，t（x）有最小值为4，故a≤4，
∴实数a的取值范围是a∈（-∞，4]；
（2）化简得，G（x）=lnx，则原不等式可化为lnx＞1ex-2ex，即证xlnx＞xex-2e成立，
记F（x）=xlnx，则F'（x）=lnx+1，
当0＜x＜1e时，F'（x）＜0，F（x）递减；当x＞1e时，F'（x）＞0，F（x）递增，
故当x=1e时，F（x）取得极小值，也为最小值，其最小值为F(1e)=-1e．
记H(x)=xex-2e，则H'（x）=1-xex，
当0＜x＜1时，H'（x）＞0，H（x）递增；当x＞1时，H'（x）＜0，H（x）递减；
故当x=1时，H（x）取得极大值，也为最大值，其最大值为H(1)=-1e，
由函数F（x）的最小值与函数H（x）的最大值不能同时取到，
故x∈（0，+∞）时，F（x）＞H（x），故原不等式成立．
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解析
12考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x3-ax，g(x)=.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
