题文
已知函数f（x）=log9（9x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；
（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=12x+b没有交点，求b的取值范围；
（3）设h(x)=log9(a•3x-43a)，若函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）因为y=f（x）为偶函数，所以∀x∈R，f（-x）=f（x），即log9（9-x+1）-kx=log9（9x+1）+kx对于∀x∈R恒成立．
即2kx=log9(9-x+1)-log9(9x+1)=log99x+19x-log9(9x+1)=-x恒成立
即（2k+1）x=0恒成立，
而x不恒为零，所以k=-12．
（2）由题意知方程log9(9x+1)-12x=12x+b即方程log9（9x+1）-x=b无解．
令g（x）=log9（9x+1）-x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点．
因为g(x)=log99x+19x=log9(1+19x)
任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则0＜9x1＜9x2，从而19x1＞19x2．
于是log9(1+19x1)＞log9(1+19x2)，即g（x1）＞g（x2），
所以g（x）在（-∞，+∞）是单调减函数．
因为1+19x＞1，所以g(x)=log9(1+19x)＞0．所以b的取值范围是（-∞，0]．
（3）由题意知方程3x+13x=a•3x-43a有且只有一个实数根．
令3x=t＞0，则关于t的方程(a-1)t2-43at-1=0（记为（*））有且只有一个正根．
若a=1，则t=-34，不合，舍去；
若a≠1，则方程（*）的两根异号或有两相等正根．
由△=0⇒a=34或-3；但a=34⇒t=-12，不合，舍去；而a=-3⇒t=12；
方程（*）的两根异号⇔（a-1）•（-1）＜0，即-a+1＜0，解得：a＞1．
综上所述，实数a的取值范围{-3}∪（1，+∞）．
点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习
解析
9x+19x考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=log9（9x+1）+.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
