题文
已知函数f(x)=1-23x+1．（1）求函数f（x）的定义域并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）用单调性定义证明：函数f（x）在其定义域上都是增函数；
（3）解不等式：f（3m2-m+1）+f（2m-3）＜0． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵函数f(x)=1-23x+1=3x+1-23x+1=3x-13x+1，可得3x＞0，3x+1≠0，∴函数f（x）的定义域为R．
再根据f（-x）=3-x-13-x+1=1-3x1+3x=-f（x），
故f（x）是定义在R上的奇函数．
（2）证明：任取x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=1-23x1+1-(1-23x2+1)
=23x2+1-23x1+1=2×3x1-3x2(3x1+1)(3x2+1)．
由题设x1＜x2可得0＜3x1＜3x2，∴3x1-3x2＜0，且 3x1+1＞0，3x2+1＞0，
故有 f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在其定义域R上是增函数．
（3）由f（3m2-m+1）+f（2m-3）＜0，得f（3m2-m+1）＜-f（2m-3）．
∵函数f（x）为奇函数，
∴-f（2m-3）=f（3-2m），不等式即f（3m2-m+1）＜f（3-2m）．
由（2）已证得函数f（x）在R上是增函数，
∴f（3m2-m+1）＜f（3-2m）等价于 3m2-m+1＜3-2m，
即3m2+m-2＜0，即（3m-2）（m+1）＜0，∴-1＜m＜23．
不等式f（3m2-m+1）+f（2m-3）＜0的解集为{m|-1＜m＜23}．
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解析
23x+1考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=1-23x+1．（1）.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
