二次函数f=x2+2ax+2a+1．若对任意x∈R有f≥1恒成立，求实数a的取值范围；讨论函数f在区间[0，1]上的单调性；

题文

二次函数f（x）=x²+2ax+2a+1．
（1）若对任意x∈R有f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围；
（2）讨论函数f（x）在区间[0，1]上的单调性；
（3）若对任意的x₁，x₂∈[0，1]有|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f（x）≥1⇔x²+2ax+2a≥0对任意x∈R恒成立，
∴△=4a²-8a≤0，解得0≤a≤2，
∴a的范围是[0，2]；
（2）f（x）=（x+a）²-a²+2a+1，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x=-a，
讨论：①当-a≤0即a≥0时，f（x）在区间[0，1]上单调递增；
②当0＜-a＜1即-1＜a＜0时，f（x）在区间[0，-a]上单调递减，在区间[-a，1]上单调递增；
③当-a≥1即a≤-1时，f（x）在区间[0，1]上单调递减．
（3）由题意知，|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立等价于f（x）_max-f（x）_min≤1，
f（0）=2a+1，f（1）=4a+2，f（-a）=-a²+2a+1，
由（2），

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解析

考点

据考高分专家说，试题“二次函数f（x）=x2+2ax+2a+1.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|