题文
已知函数
.
（1）当
时，判断
的奇偶性，并说明理由；
（2）当
时，若
，求
的值；
（3）若
，且对任何
不等式
恒成立，求实数
的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）既不是奇函数，也不是偶函数；（2）所以
或
；（3）当
时，
的取值范围是
，当
时，
的取值范围是
；当
时，
的取值范围是
．
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解析
（1）
时，
为确定的函数，要证明它具有奇偶性，必须按照定义证明，若要说明它没有奇偶性，可举一特例，说明某一对值
与
不相等（不是偶函数）也不相反（不是奇函数）．（2）当
时，
为
，这是含有绝对值符号的方程，要解这个方程一般是分类讨论绝对值符号里的式子
的正负，以根据绝对值定义去掉绝对值符号，变成通常的方程来解．（3）不等式
恒成立时要求参数
的取值范围，一般要把问题进行转化，例如分离参数法，或者转化为函数的最值问题．
即为
，可以先把绝对值式子
解出来，这时注意首先把
分出来，然后讨论
时，不等式化为
，于是有
，即
，这个不等式恒成立，说明
，这时我们的问题就转化为求函数
的最大值，求函数
的最小值．
试题解析：（1）当
时，
既不是奇函数也不是偶函数（2分）
所以
既不是奇函数，也不是偶函数 （4分）
（2）当
时，
，
由
得
（1分）
即
（3分）
解得
（5分）
所以
或
（6分）
（3）当
时，
取任意实数，不等式
恒成立，
故只需考虑
，此时原不等式变为
（1分）
即
故
又函数
在
上单调递增，所以
；（2分）
对于函数
①当
时，在
上
单调递减，
，又
，
所以，此时
的取值范围是
（3分）
②当
，在
上，
，
当
时，
，此时要使
存在，
必须有
，此时
的取值范围是
（4分）
综上，当
时，
的取值范围是
当
时，
的取值范围是
；
当
时，
的取值范围是
（6分）
考点
据考高分专家说，试题“已知函数.（1）当时，判断的奇偶性，并说.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
