题文
设
，两个函数
，
的图像关于直线
对称.
（1）求实数
满足的关系式；
（2）当
取何值时，函数
有且只有一个零点；
（3）当
时，在
上解不等式
． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）
；（3）
．
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解析
（1）两个函数的图象关于某条直线
对称，一般都是设
是一个函数图象上的任一点，求出这个点
关于直线
对称的点
，而点
就在第二个函数的图象上，这样就把两个函数建立了联系；（2）函数
有且只有一个零点，一般是求
，通过
讨论函数
的单调性，最值，从而讨论零点的个数，当然本题中由于
与
的图象关于直线
对称，因此
的唯一零点也就是它们的的唯一交点必在直线
上，这个交点是函数
图象与直线
的切点，这样我们可从切线方面来解决问题；（3）考虑
，
当然要解不等式
，还需求
，讨论
的单调性，极值，从而确定不等式的解集．
试题解析：（1）设
是函数
图像上任一点，则它关于直线
对称的点
在函数
的图像上，
，
.
（2）当
时，函数
有且只有一个零点，两个函数的图像有且只有一个交点，
两个函数关于直线
对称，
两个函数图像的交点就是函数
，的图像与直线
的切点.
设切点为
，
，
，
，
,
当
时，函数
有且只有一个零点
；
（3）当
时，设
，则
，当
时，
，
，
当
时，
，
．
在
上是减函数.
又
＝0，
不等式
解集是
．
考点
据考高分专家说，试题“设，两个函数，的图像关于直线对称.（1）.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
