设M是由满足下列条件的函数f构成的集合：“①方程f﹣x=0有实数根；②函数f的导数f′满足0＜f′＜1．”判断函数是否

题文

设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）﹣x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1．”
（I）判断函数

是否是集合M中的元素，并说明理由；
（II）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意
[m，n]

D，都存在x₀∈（m，n），使得等式f（n）﹣f（m）=（n﹣m）f'（x₀）成立．
试用这一性质证明：方程f（x）﹣x=0只有一个实数根；
（III）设x₁是方程f（x）﹣x=0的实数根，求证：对于f（x）定义域中任意的x₂，x₃，当|x₂﹣x₁|＜1，且|x₃﹣x₁|＜1时，有|f（x₃）﹣f（x₂）|＜2. 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（I）因为

，
又因为当x=0时，f（0）=0，
所以方程f（x）﹣x=0有实数根0．
所以函数

是的集合M中的元素．
（II）假设方程f（x）﹣x=0存在两个实数根α，β（α≠β），
则f（α）﹣α=0，f（β）﹣β=0
不妨设α＜β，
根据题意存在数c

（α，β）使得等式f（β）﹣f（α）=（β﹣α）f'（c）成立．
因为f（α）=α，f（β）=β，且α≠β，
所以f'（c）=1，与已知0＜f'（x）＜1矛盾，
所以方程f（x）﹣x=0只有一个实数根；
（III）不妨设x₂＜x₃，
因为f'（x）＞0，所以f（x）为增函数，
所以f（x₂）＜f（x₃），
又因为f'（x）﹣1＜0，所以函数f（x）﹣x为减函数，
所以f（x₂）﹣x₂＞f（x₃）﹣x₃，
所以0＜f（x₃）﹣f（x₂）＜x₃﹣x₂，即|f（x₃）﹣f（x₂）|＜|x₃﹣x₂|，
所以|f（x₃）﹣f（x₂）|＜|x₃﹣x₂|=|x₃﹣x₁﹣（x₂﹣x₁）|≤|x₃﹣x₁|+|x₂﹣x₁|＜2

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解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设M是由满足下列条件的函数f（x）.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点