已知函数f=x3﹣ax2﹣3x若f在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围； 若x=﹣是f的一个极值点，求f（

题文

已知函数f（x）=x³﹣ax²﹣3x
（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=﹣

是f（x）的一个极值点，求f（x）在[1，a]上的最大值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）求导函数，可得f'（x）=3x²﹣2ax﹣3
∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴f'（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
即3x²﹣2ax﹣3≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
则必有

且f'（1）=﹣2a≥0，
∴a≤0
（2）依题意x=﹣

是f（x）的一个极值点，
∴

即


∴a=4，
∴f（x）=x³﹣4x²﹣3x
令f'（x）=3x²﹣8x﹣3=0，得


则当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：



（3）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，
即方程x³﹣4x²﹣3x=bx恰有3个不等实根
∴x³﹣4x²﹣3x﹣bx=0恰有3个不等实根
∵x=0是其中一个根，
∴方程x²﹣4x﹣3﹣b=0有两个非零不等实根，
∴


  ∴b＞﹣7，且b≠﹣3

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解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x3﹣ax.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点