已知函数f=-x3+3x2+9x+a在区间[-2，2]上存在零点，那么实数a的取值范围是______．

题文

已知函数f（x）=-x³+3x²+9x+a在区间[-2，2]上存在零点，那么实数a的取值范围是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

①f′（x）=-3x²+6x+9=-3（x+1）（x-3），
当x＜-1或x＞3时，f′（x）＜0，当-1＜x＜3时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上单调递减；在（-1，3）上单调递增．
所以当x=-1时f（x）取得极小值f（-1）=-6+a，f（-2）=2+a，f（2）=22+a．
由于函数f（x）=-x³+3x²+9x+a在区间[-2，2]上存在零点，
则f(-1)=-6+a≤0f(2)=22+a≥0  解得-22≤m≤6，
所以当函数f（x）=-x³+3x²+9x+a在区间[-2，2]上存在零点时，实数a的取值范围是[-22，6]．
故答案为：-22≤m≤6．

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解析

f(-1)=-6+a≤0f(2)=22+a≥0

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=-x3+3x2+9x+.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点