已知函数f=-x3+ax2-4．若函数y=f的图象在点P）处的切线的倾斜角为π4．设f的导函数是f'，若s

题文

已知函数f（x）=-x³+ax²-4（a∈R）．若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为π4．
（Ⅰ）设f（x）的导函数是f'（x），若s，t∈[-1，1]，求f'（s）+f（t）的最小值；
（Ⅱ）对实数k的值，讨论函数F（x）=f（x）-k零点的个数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）f'（1）=1⇒a=2⇒f（x）=-x³+2x²-4⇒f'（x）=-3x²+4x（3分）
因s，t互相独立，故只要分别求f'（s），f（t），s，t∈[-1，1]的最小值即可
当s=-1，t=0时，f'（s）+f（t）的最小值为-11
（II）等价于讨论f（x）=k的实根的个数
x（-∞，0）0(0，43)43(43，+∞)f'（x）-0+0-f（x）↘-4↗-7627↘∴k＞-7627或k＜-4，一解；k=-7627或k=-4，二解；-4＜k＜-7627，三解．

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解析

x（-∞，0）0(0，43)43(43，+∞)f'（x）-0+0-f（x）↘-4↗-7627↘

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=-x3+ax2-4（a.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点