关于x的方程cosx-lg|x|=0的根的个数A．1B．2C．4D．6

题文

关于x的方程cosx-lg|x|=0的根的个数（ ）A．1B．2C．4D．6 题型：未知 难度：其他题型

答案

原方程即cosx=lg|x|，在同一坐标系内作出y=cosx与y=lg|x|的图象



由于两个函数均为偶函数，因此方程的根必定为偶数，只须研究当x≥0时的图象
∵x≥0时，cosπ3=12＞lgπ3，且cosπ=-1＜lgπ
∴在区间[0，π]上，两个图象有一个交点
又∵当x∈（π，3π）时，lgx∈（0，1），
而cosx在（π，2π）上为增函数，在（2π，3π）上为减函数，最大值为1
∴在区间（π，3π）上，两个图象有两个交点
而当x≥3π时，易得在[3π，10]上两个图象没有交点
由于在区间（10，+∞）上，lgx＞1恒成立而cosx≤1，两个图象也没有交点
∴两图象在x≥3π时没有交点．
综上所述，当x≥0时，y=cosx与y=lg|x|的有3交点，得cosx=lg|x|有三个不同的根
结合两个函数均为偶函数，得当x＜0时，cosx=lg|x|也有三个不同的根，故方程cosx-lg|x|=0的根的个数为6
故选：D

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解析

π3

考点

据考高分专家说，试题“关于x的方程cosx-lg|x|=0的根.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点