在区间[1，4]上任取实数a，在区间[0，3]上任取实数b，使函数f=ax2+x+b有两个相异零点的概率是 ______．

题文

在区间[1，4]上任取实数a，在区间[0，3]上任取实数b，使函数f（x）=ax²+x+b有两个相异零点的概率是 ______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设事件A={使函数f（x）=ax²+x+b有两个相异零点}，
方程ax²+x+b=0有两个相异根，即△=1-4ab＞0，解得ab＜14，
∵在[1，4]上任取实数a，在[0，3]上任取实数b，
∴这是一个几何概型，所有的实验结果Ω={（a，b）|1≤a≤4且 0≤b≤3}；
事件A={（a，b）|ab＜14，1≤a≤4且 0≤b≤3}，在坐标系中画出图形：
则图中阴影部分是事件A构成的区域，则它的面积S=∫4114ada=14lna|₁⁴=12ln2，
∴事件A的概率P（A）=12ln29=ln218．
故答案为：ln218．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“在区间[1，4]上任取实数a，在区间[0.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点