已知函数f=x2-alnx，g=x-ax．若a∈R，求函数f的极值；若函数f在上是增函数，g在上为

题文

已知函数f（x）=x²-alnx，g（x）=x-ax．
（1）若a∈R，求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）在（1，2）上是增函数，g（x）在（0，1）上为减函数，求f（x），g（x）的表达式；
（3）对于（2）中的f（x），g（x），求证：当x＞0时，方程f（x）=g（x）+2有唯-解． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），函数的导数为f′(x)=2x-ax，
①若a≤0，f'（x）＞0横成立，此时函数f（x）单调递增，无极值．
②若a＞0，则由f′(x)=2x-ax=2x2-ax＞0，解得x＞2a2，此时函数f（x）单调递增．
由f′(x)=2x2-ax＜0，解得0＜x＜2a2，此时函数f（x）单调递减．
所以当x=2a2时，函数f（x）取得极小值f(2a2)=12a(1-ln⁡a+ln⁡2)．
综上，若a≤0，函数f（x）无极值．
若a＞0，函数f（x）取得极小值f(2a2)=12a(1-ln⁡a+ln⁡2)．
（2）若函数f（x）在（1，2）上是增函数，则f′(x)=2x2-ax≥0恒成立，
即a≤2x²在（1，2）上恒成立，所以a≤2．
又g′(x)=1-a2x，要使g（x）在（0，1）上为减函数，
则g′(x)=1-a2x≤0在（0，1）上恒成立，
即a≥2x在（0，1）上恒成立，所以a≥2．
综上a=2．
（3）由f（x）=g（x）+2得f（x）-g（x）-2=0，设h（x）=f（x）-g（x）-2=x2-2lnx-x+2x-2，
则h′(x)=2x-2x-1+1x，由h′(x)=2x-2x-1+1x＞0且x＞0，得(x-1)(2xx+2x+x+2)＞0，
解得x＞1，此时函数h（x）单调递增．
由h'（x）＜0，解的0＜x＜1．此时函数h（x）单调递减．
所以函数h（x）在x=1处取得极小值同时也是最小值h（0）=0，
当x＞0时，且x≠1时，h（x）＞0，所以h（x）=0在（0，+∞）上只有一个解，即当x＞0时，方程f（x）=g（x）+2有唯-解．

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解析

ax

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2-alnx，g（x.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点