已知两不共线的向量a，b的夹角为θ，且|a|=3，|b|=1，x为正实数．若a+2b与a-4b垂直，求tanθ；若对任意正实数x，向量xa-b的模不

题文

已知两不共线的向量a，b的夹角为θ，且|a|=3，|b|=1，x为正实数．
（1）若a+2b与a-4b垂直，求tanθ；
（2）若对任意正实数x，向量xa-b的模不小于12，求θ的取值范围；
（3）若θ为锐角，对于正实数m，关于x的方程|xa-b|=|ma|有两个不同的正实数解，且x≠m，求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵(a+2b)⊥(a-4b)，∴(a+2b)•(a-4b)=0，化为a2-2a•b-8b2=0，
∴3²-2×3×1×cosθ-8×1²=0，解得cosθ=16，
又θ∈（0，π），∴sinθ=1-(16)2=356，∴tanθ=sinθcosθ=35．
（2）∵|xa-b|=(xa-b)2=9x2-6xcosθ+1≥12，对x＞0恒成立，
即9x2-6xcosθ+34≥0，对于x＞0恒成立⇔cosθ≤3x2+18x恒成立，对于x＞0．
∵3x2+18x≥23x2×18x=32，当且仅当x=36时取等号，∴cosθ≤32，
∵θ∈（0，π），∴θ∈[π6，π)．
（3）对于方程|xa-b|=|ma|两边平方得9x²-6xcosθ+1-9m²=0 （*）
设方程（*）的两个不同正实数解为x₁，x₂，
则△=(6cosθ)2-36(1-9m2)＞0x1+x2=6cosθ9＞0x1x2=1-9m29＞0得cosθ＞0，13sinθ＜m＜13，
若x=m，则方程（*）化为x=16cosθ，∵x≠m，∴m≠16cosθ．
令13sinθ＜16cosθ＜13，得sin2θ＜1cosθ＞12解得0＜θ＜π3，且θ≠π4．
当0＜θ＜π3且θ≠π4时，m的取值范围是{m|13sinθ＜m＜13且m≠16cosθ}；
当π3≤θ＜π2或θ=π4时，m的取值范围是{m|13sinθ＜m＜13}．

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解析

a

考点

据考高分专家说，试题“已知两不共线的向量a，b的夹角为θ，且|.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点