已知函数f=x2lnx．求函数f的单调区间；证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f．设中所确定的s关于t的函数为

题文

已知函数f（x）=x²lnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．
（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞e²时，有25＜lng(t)lnt＜12． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意可知函数的定义域为（0，+∞），
求导数可得f′（x）=2xlnx+x²•1x=2xlnx+x=x（2lnx+1），
令f′（x）=0，可解得x=1e，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
 x（0，1e）  1e（ 1e，+∞） f′（x）- 0+ f（x）单调递减极小值 单调递增 所以函数f（x）的单调递减区间为（0，1e），单调递增区间为（ 1e，+∞）
（Ⅱ）证明：当0＜x≤1时，f（x）≤0，设t＞0，令h（x）=f（x）-t，x∈[1，+∞），
由（Ⅰ）可知，h（x）在区间（1，+∞）单调递增，h（1）=-t＜0，h（e^t）=e^2tlne^t-t=t（e^2t-1）＞0，
故存在唯一的s∈（1，+∞），使得t=f（s）成立；
（Ⅲ）证明：因为s=g（t），由（Ⅱ）知，t=f（s），且s＞1，
从而lng(t)lnt=lnslnf(s)=lnsln(s2lns)=lns2lns+lnlns=u2u+lnu，其中u=lns，
要使25＜lng(t)lnt＜12成立，只需0＜lnu＜u2，
当t＞e²时，若s=g（t）≤e，则由f（s）的单调性，有t=f（s）≤f（e）=e²，矛盾，
所以s＞e，即u＞1，从而lnu＞0成立，
另一方面，令F（u）=lnu-u2，u＞1，F′（u）=1u-12，
令F′（u）=0，可解得u=2，
当1＜u＜2时，F′（u）＞0，当u＞2时，F′（u）＜0，
故函数F（u）在u=2处取到极大值，也是最大值F（2）=ln2-1＜0，
故有F（u）=lnu-u2＜0，即lnu＜u2，
综上可证：当t＞e²时，有25＜lng(t)lnt＜12成立．

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解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2lnx．（Ⅰ）求函.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点