已知f=f，f=f，方程f=0在[0，1]内有且只有一个根x=12，则f=0在区间[-1005，1006]内根

题文

已知f（x+1）=f（x-1），f（x）=f（-x+2），方程f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根x=12，则f（x）=0在区间[-1005，1006]内根的个数为（ ）A．2013B．1006C．2011D．1007 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵f（x）=f（-x+2），∴f（x）的图象关于直线x=1对称，即f（1-x）=f（1+x）．
又f（x+1）=f（x-1），∴f（x-1）=f（1-x），即f（x）=f（-x），故函数f（x）为偶函数．
再由f（x+1）=f（x-1），令x+1=t，则有f（t）=f（t+2），
从而可得f（x+2）=f（x），故函数f（x）是周期等于2的周期函数．
由于f（12）=0，∴f（-12）=0，
∴f（32）=f（2-32）=f（12）=0，
故函数f（x）在一个周期[0，2]上有2个零点，且函数f（x）在每两个整数之间都有一个零点，
f（x）=0在区间[-1005，1006]内根的个数为2011，
故选C．

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解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x+1）=f（x-1），f（x）.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点