已知函数f=x2-x+k2+3k+5有两个零点：若函数的两个零点是-1和-3，求k的值；若函数的两个零点是α和β，求α2+β2的取值

题文

已知函数f（x）=x²-（k-2）x+k²+3k+5有两个零点：
（1）若函数的两个零点是-1和-3，求k的值；
（2）若函数的两个零点是α和β，求α²+β²的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）：∵-1和-3是函数f（x）的两个零点
∴-1和-3是方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的两个实数根（2分）
则：-1-3=k-2-1×(-3)=k2+3k+5解的k=-2（4分）
（2）：若函数的两个零点为α和β，
则α和β是方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的两根
∴a+β=k-2aβ=k2+3k+5△=(k-2)2-4×(k2+3k+5)≥0（7分）
则α2+β2=(α+β)2-2αβ=-k2-10k-6-4≤k≤-43
∴α2+β2在区间[-4，-43]上的最大值是18，最小值509（11分）
即：α2+β2的取值范围为[509，18]（12分）

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解析

-1-3=k-2-1×(-3)=k2+3k+5

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2-（k-2）x+k.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点