已知函数f=2lnx-x2-ax．求函数f的单调区间；如果函数f有两个不同的零点x1，x2且x1＜x2，证明：对满足p+

题文

已知函数f（x）=2lnx-x²-ax（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）如果函数f（x）有两个不同的零点x₁，x₂且x₁＜x₂，证明：对满足p+q=1，p≤q的任意正常数，f′（px₁+qx₂）＜0恒成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数的定义域为（0，+∞），则f′(x)=2x-2x-a=-2x2+ax-2x，令f'（x）=0，解得
x3=-a-a2+164＜0，x4=-a+a2+164＞0，所以当0＜x＜x₄时，f'（x）＞0，此时函数单调递增．
当x＞x₄时，f'（x）＜0，此时函数单调递减．
所以函数的单调递增区间为(0，-a+a2+164)，单调递减区间为[-a+a2+164，+∞)．
（2）因为函数f（x）有两个不同的零点x₁，x₂且x₁＜x₂，所以2lnx1-x21-ax1=02lnx2-x22-ax2=0，两式相减得a=2(lnx1-lnx2)x1-x2-(x1+x2)，
因为f′(x)=2x-2x-a=-2x2+ax-2x，
所以f′(px1+qx2)=2px1+qx2-2(px1+qx2)-[2(ln⁡x1-ln⁡x2)x1-x2-(x1+x2)]
=2px1+qx2-2(lnx1-lnx2)x1-x2+(2p-1)(x2-x1)，
因为2p≤p+q=1，x₂＞x₁，所以（2p-1）（x₂-x₁）≤0，要证f′（px₁+qx₂）＜0，只要证明
2px1+qx2-2(lnx1-lnx2)x1-x2＜0即可，即只要证明x2-x1px1+qx2+lnx1x2＜0即可．
令x1x2=t，0＜t＜1，即只要证明g(t)=1-tpt+q+ln⁡t＜0在0＜t＜1上恒成立即可．g′(t)=-1×(pt+q)-(1-t)p(pt+q)2+1t=-1(pt+q)2+1t=p2(t-1)(t-q2p2)t(pt+q)2，
因为p+q=1，0＜p≤q，所以qp≥1，q2p2≥1，所以当0＜t＜1时，t-1＜0，t-q2p2＜0，
所以g'（x）＜0，所以函数g（t）在（0，1）上为增函数，所以g（t）＜g（1）=0．
所以x2-x1px1+qx2+lnx1x2＜0，故所证明的不等式成立．

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解析

2x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2lnx-x2-ax（.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点