已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且a+b+c=0．若x1，x2为方程ax2+bx+c=0的两个实数根，则|x21-x22|的取值范围为______．

题文

已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且a+b+c=0．若x₁，x₂为方程ax²+bx+c=0的两个实数根，则|x21-x22|的取值范围为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由于 a＞b＞c，a+b+c=0，x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的两实数根，
可得方程ax²+bx+c=0必然有一个实数根为1，且 a＞0，c＜0，b的符号不确定．
故有 a+2b＞0，1＞ba＞-12，0≤|ba|＜1．
不妨设 x₁ =1，由根与系数的关系可得 1+x₂=-ba，x₂=ca＜0，且对称轴为 x=-b2a∈（-12，14）．
由|x₁²-x₂²|=|（x₁+x₂）•（x₁-x₂）|=|ba|•|x₁-x₂|=|ba|•|1-x₂ |可得，
当|ba|=0时，|x₁²-x₂²|=|ba|•|1-x₂ |的最小值等于0．
再由|1-x₂ |=2|1-（-b2a）|=2|（1+b2a）|≤2+|ba|＜2+1=3，
故|ba|•|1-x₂ |＜1×3=3．
故|x₁²-x₂²|的取值范围为[0，3），
故答案为：[0，3）．

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解析

ba

考点

据考高分专家说，试题“已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且a+.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点