设f是定义在R上的函数，对x∈R都有f=f，f•f=10，且当x∈[-2，0]时，f(x)=(12)x-1，若在区间（-2，

题文

设f（x）是定义在R上的函数，对x∈R都有f（-x）=f（x），f（x）•f（x+2）=10，且当x∈[-2，0]时，f(x)=(12)x-1，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（ ）A．（1，2）B．（2，+∞）C．（1，34）D．（34，2） 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵对于任意的x∈R，都有f（x）•f（x+2）=10，∴f(x+4)=10f(x+2)=f(x)
∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．
∵对x∈R都有f（-x）=f（x），
∴函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∵当x∈[-2，0]时，f（x）=（12）^x-1，在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3个不同的实数解，
∴函数y=f（x）与y=log_a（x+2）在区间（-2，6]上有三个不同的交点，如下图所示：



又f（-2）=f（2）=3，则有 log_a4＜3，且log_a8＞3，解得：34＜a＜2，
故a的取值范围是（34，2）．
故选D．

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解析

10f(x+2)

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）是定义在R上的函数，对x∈R都.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点