函数f=cos2x在区间[-3，3]上的零点的个数为A．3B．4C．

题文

函数f（x）=（1+x-x22+x33-x44+…-x20122012+x20132013） cos2x在区间[-3，3]上的零点的个数为（ ）A．3B．4C．5D．6 题型：未知 难度：其他题型

答案

设g（x）=1+x-x22+x33-x44+…-x20122012+x20132013，则g′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹²=1+x20131+x，
在区间[-3，3]上，1+x20131+x＞0，故函数g（x）在[-3，3]上是增函数，
由于g（-3）式子中右边x的指数为偶次项前为负，奇数项前为正，结果必负，即g（-3）＜0，
且g（3）=1+3+（-x22+x33）+（-x44+x55）+…+（-x20122012+x20132013）＞0，
故在[-3，3]上函数g（x）有且只有一个零点．
又y=cos2x在区间[-3，3]上有四个零点，且与上述零点不重复，
∴函数f（x）=（1+x-x22+x33-x44+…-x20122012+x20132013）cos2x在区间[-3，3]上的零点的个数为1+4=5．
故选C．

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解析

x22

考点

据考高分专家说，试题“函数f（x）=（1+x-x22+x33-.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点