已知函数f(x)满足f(x)=2f(1x)，当x∈[1，3]时，f=lnx，若在区间[13，3]内，函数g=f-ax，有三个不同的零点，则实数

题文

已知函数f(x)满足f(x)=2f(1x)，当x∈[1，3]时，f（x）=lnx，若在区间[13，3]内，函数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）A．[ln33，1e)B．[ln33，2e)C．(0，12e)D．(0，1e) 题型：未知 难度：其他题型

答案

在区间[13，3]内，函数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点，
①a＞0若x∈[1，3]时，f（x）=lnx，可得g（x）=lnx-ax，（x＞0）
g′（x）=1x-a=1-axx，
若g′（x）＜0，可得x＞1a，g（x）为减函数，
若g′（x）＞0，可得x＜1a，g（x）为增函数，
此时f（x）必须在[1，3]上有两个交点，
∴g(1a)＞0g(3)≤0g(1)≤0，解得，ln33≤a＜1e①
设13＜x＜1，可得1＜1x＜3，
∴f(x)=2f(1x)=2ln1x，此时g（x）=-2lnx-ax，
g′（x）=-2+axx，
若g′（x）＞0，可得x＜-1a＜0，g（x）为增函数
若g′（x）＜0，可得x＞-1a，g（x）为减函数，
在[13，1]上有一个交点，则g(-2a)＞0g(13)≥0g(1)≤0，解得0＜a≤6ln3②
综上①②可得ln33≤a＜1e；
②若a＜0，对于x∈[1，3]时，g（x）=lnx-ax＞0，没有零点，不满足在区间[13，3]内，函数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点，
综上：ln33≤a＜1e；
故选A；

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)满足f(x)=2f(1x.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点