已知函数f(x)=x+ax(a∈R），g=lnx求函数F=f+g的单调区间；若关于x的方程g(x)x=x•[f(x)-2e]

题文

已知函数f(x)=x+ax(a∈R），g（x）=lnx
（1）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程g(x)x=x•[f(x)-2e]（e为自然对数的底数）只有一个实数根，求a的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

函数F(x)=f(x)+g(x)=x+ax+lnx的定义域为（0，+∞）．
∴F′(x)=1-ax2+1x=x2+x-ax2．
①当△=1+4a≤0，即a≤-14时，得x²+x-a≥0，则F′（x）≥0．
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增．（2分）
②当△=1+4a＞0，即a＞-14时，令F′（x）=0，得x²+x-a=0，
解得x1=-1-1+4a2＜0，x2=-1+1+4a2．
（ⅰ） 若-14＜a≤0，则x2=-1+1+4a2≤0．
∵x∈（0，+∞），
∴F′（x）＞0，
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增．（4分）
（ⅱ）若a＞0，则x∈(0，-1+1+4a2)时，F′（x）＜0；
x∈(-1+1+4a2，+∞)时，F′（x）＞0，
∴函数F（x）在区间(0，-1+1+4a2)上单调递减，
在区间(-1+1+4a2，+∞)上单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数F（x）的单调递增区间为（0，+∞）；（6分）
当a＞0时，函数F（x）的单调递减区间为(0，-1+1+4a2)，
单调递增区间为(-1+1+4a2，+∞)．（8分）
（2）令h(x)=lnxx，则h′(x)=1-lnxx2．
令h′（x）=0，得x=e．
当0＜x＜e时，h′（x）＞0；
 当x＞e时，h′（x）＜0．
∴函数h（x）在区间（0，e）上单调递增，
在区间（e，+∞）上单调递减．
∴当x=e时，函数h（x）取得最大值，其值为h(e)=1e．（10分）
而函数m（x）=x²-2ex+a=（x-e）²+a-e²，
当x=e时，函数m（x）取得最小值，其值为m（e）=a-e²．（12分）
∴当a-e2=1e，即a=e2+1e时，
方程g(x)x2=f(x)-2e只有一个根．（14分）

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解析

ax

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x+ax(a∈R），g.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点