已知函数f(x)=ln(2ax+1)+x33-x2-2ax．若x=2为f的极值点，求实数a的值；若y=f在[3，+∞）上不是单

题文

已知函数 f(x)=ln(2ax+1)+x33-x2-2ax（a≥0）．
（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若y=f（x）在[3，+∞）上不是单调函数，求实数a的取值范围；
（3）当a=-12时，方程f(1-x)=(1-x)33+bx有实根，求实数b的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由函数 f(x)=ln(2ax+1)+x33-x2-2ax
得：f′(x)=2a2ax+1+x2-2x-2a
=2a+2ax3+x2-4ax2-2x-4a2x-2a2ax+1
=x[2ax2+(1-4a)x-(4a2+2)]2ax+1．
因为x=2为f（x）的极值点，所以f^′（2）=0．
即2a4a+1-2a=0，解得：a=0．
又当a=0时，f^′（x）=x（x-2），从而x=2为f（x）的极值点成立．
（2）由函数f（x）的定义域可知，必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a≥0，
由于f′(x)=x[2ax2+(1-4a)x-(4a2+2)]2ax+1，
所以，令g（x）=2ax²+（1-4a）x-（4a²+2）．
则g（x）＞0与g（x）＜0在区间[3，+∞）上都有解，
由a≥0知，g（x）＞0一定有解，又g（x）的对称轴为x=1-14a＜1，
因此只要g（3）＜0即说明g（x）＜0在区间[3，+∞）上都有解，
由g（3）＜0得，4a²-6a-1＞0，解得：a＜3-134或a＞3+134．
因为a≥0，所以a＞3+134．
综上所述，a的取值范围是（3+134，+∞）．
（3）若a=-12时，方程f(1-x)=(1-x)33+bx可化为：lnx-(1-x)2+(1-x)=bx．
问题转化为b=xlnx-x（1-x）²+x（1-x）=xlnx+x²-x³在（0，+∞）上有解，
即求函数g（x）=xlnx+x²-x³的值域．
因为g（x）=x（lnx+x-x²），令h（x）=lnx+x-x²（x＞0），
则h′(x)=1x+1-2x=(2x+1)(1-x)x，
当0＜x＜1时，h^′（x）＞0，h（x）在（0，1）上为增函数，
当x＞1时，h^′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，
因此h（x）≤h（1）=0．
而x＞0，故b=x•h（x）≤0，
因此，当x=1时，b取得最大值0．
所以，当a=-12时，使方程f(1-x)=(1-x)33+bx有实根的b的最大值为0．

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解析

x33

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=ln(2ax+1)+x.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点