已知函数fn=x3-nx-1．求函数f3的极值；判断函数fn在区间(n，n+1)上零点的个数，并给予证明．

题文

已知函数f_n（x）=x³-nx-1（x＞0，n∈N^*）．
（Ⅰ）求函数f₃（x）的极值；
（Ⅱ）判断函数f_n（x）在区间(n，n+1)上零点的个数，并给予证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵f3(x)=x3-3x-1，∴f3′(x)=3x2-3，
∵当x＞1时，f3′(x)＞0；当0＜x＜1时，f3′(x)＜0．
∴当x=1时，f₃（x）取得极小值-3，无极大值；
（Ⅱ）函数f_n（x）在区间(n，n+1)上有且只有一个零点．
证明：
∵fn(n)=(n)3-nn-1=-1＜0，
fn(n+1)=(n+1)3-nn+1-1=n+1-1＞0，
fn(n)•fn(n+1)＜0，∴函数f_n（x）在区间(n，n+1)上必定存在零点．
∵fn′(x)=3x2-n，∴当x∈(n，n+1)时，fn′(x)＞3(n)2-n=2n＞0，
∴f_n（x）在区间(n，n+1)上单调递增，
∴函数f_n（x）在区间(n，n+1)上的零点最多一个．
综上知：函数f_n（x）在区间(n，n+1)上存在唯一零点．

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解析

n

考点

据考高分专家说，试题“已知函数fn（x）=x3-nx-1（x＞.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点